例谈“相遇”中的抽象和建模

我很赞同“数学是关于模型的科学”，并且以为教学生学数学最主要的任务就是学习如何建构模型、运用模型。如何实践呢？这里用2007年在临潼观察的一节小学数学课为例。

这是一节五年级的数学课，教学内容是《相遇》。教学活动主要包括：

一、让一个学生在教室里走路，目的在于引出路程、时间、速度和“路程＝时间×速度”的关系。对于相关数据，老师提的是学生每分钟走50米，在教室里面走了10分钟，问这位同学在教室里走了多少米，答案是500米。（课后，我和老师议课讨论这个活动是否有必要。我认为，一方面，四年级学生已经学过一辆车运动的时间、速度、路程，可以说，关于时间、路程、速度有什么样的关系，学生早就学过了，熟悉了，用不着在这里化这么多时间和精力，可以简单提问回忆就可以达到现有目的。另一方面，走的时间不过几十秒，教室里面又哪来500米？这些数据反而可能让学生对时间和路程的多少、长短估计产生错误印象）

二、老师板书“相距，相对，相遇，同时”，要求两位同学表演，第一次，两位同学先后同向行走；第二次，老师将两位同学拉在黑板两头，让她们相向、同时走动，走在一起时，老师说，这就是相遇。（课后议课，我和授课老师讨论，怎样避免第一次“不同时”和“同向”的浪费，以及第二次表演时老师的强力介入？是否可以要求学生把四个词同时表演出来，让学生先想一想该怎么设计这次表演）

三、老师用多媒体出示教材中的问题，图和文字的大概意思是“张叔叔和王阿姨有一个材料要交换，张叔叔住天桥，王阿姨住遗址公园，两个人同时驾车，张叔叔车速每小时50公里，王阿姨每小时30公里。问题一：他们可能在什么地方相遇？问题二：他们之间的路程是160公里，出发以后多小时他们相遇？”第一个问题在课本中，“遗址公园”和“天桥”间有两个点：“郭庄”距“遗址公园”大约四分之一总路程处，“李村”距“遗址公园”大约三分之一总路程处。对这个问题，学生几乎异口同声：“李村”。（课后我和老师就这一教学环节讨论：教材中设置“问题一”的目的是什么？讨论的结果是要让学生意识到，由于速度不同，相向同时出发的两个人相遇的地点不会是在路程的中点。当我们认可这样的目的，那就需要在路程的中点设置一个点来干扰和促进学生思考；没有这样一个点，学生就没有机会对这个问题进行分辨。现在，教材上没有这个点，老师该怎么办？我认为老师可以在幻灯片上标注出这样的点，比如“赵庄”。这就是新课程提倡的，教师根据实际教学需要，积极主动地参与课程建设和开发）

四、老师安排几个简单的相遇问题的课堂练习以后，布置了这样的题目：“植树节时，五年级同学在骊山植树，第一组每小时栽10棵松树，第二组每小时栽20棵松树，第三组每小时栽30棵柏树，他们共需栽松树60棵，几小时可以栽完？下面的哪一种算法正确：A：60÷（10+20+30）。B：60÷（10+20）。C：解：设x小时可以栽完，列方程：10x+20x=60。”这个题目的处理显得很仓促。

应该说这是一节很不错的课，但从体现数学的本质，让学生在数学课堂上收获更多数学的东西还可以做些什么呢？

《数学课程标准》指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。”“义务教育阶段的数学课程，要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”可以说，抽象概括是数学方法的核心，学习建构数学模型并进行解释应用是数学教学的基本要求和特征。具体到这一节课，可以怎么抽象概括？应该建构怎样的数学模型？从这一目标出发，还可以引起以下讨论：

首先，是否可以对两个同学的活动和表演进行抽象？要进行数学抽象是因为我们不能为活动而活动，或者使活动表面化，而是充分挖掘其中的数学意义和价值。比如在同学表演以后，不是让她们下去让这个活动到此结束，而是让她们站在黑板前，对应在黑板上打点，标明两者位置，标示两者间的距离（路程），再让她们相向运动，在她们相向运动过程，在黑板上标示她们的运动方向，标示她们相遇的位置。这里的抽象是将两个学生的活动抽象成图形，在黑板上画出来，将生活中的真实运动抽象成图像运动。

其次，是否应该完成从图像、图形运动到符号关系的抽象？从“同时”中抽象出“运动时间相等”，从而理解同时出发到相遇，彼此所用时间是一样的，这样才能够在方程计算方法中找到相同的量，并设定同一个未知数。把这种认识进一步拓展，它可以让学生意识到在一个方程或方程组中，同一个未知数不仅应该意义一样，数量也应该一样。同时还要从“相遇”的图像化表达中，抽象出“两者行进的路程等于总路程”的关系，从而建构“总路程＝时间×（甲速度＋乙速度）”的数学模型。

第三，为什么可以把行程相遇问题应用到解决工程问题（比如植树）？是否应该再进一步寻找其中相似的数量关系，从中抽象出更有拓展性和普遍意义的数学模型？比如，“相遇”意味着彼此完成共同任务，“总路程”就可以向“任务总量”拓展，“同时出发”意味着“同时开工”工作，彼此不同的“运动速度”可以拓展为不同参与者的“工作效率”。这样，“总路程＝时间×（甲速度＋乙速度）”的数学模型被抽象拓展成了“总任务＝工作时间×（甲工作效率＋乙工作效率＋……）”的数学模型。当然，这次拓展最好建立在“总路程＝时间×（甲速度＋乙速度）”的熟练应用后，再提出工程问题让同学们观察、发现，在老师的引导完成模型建构。要在这里强调彼此所用时间是一样的，就必须强调“同时”，对照老师的拓展题目，“同时工作”的强调就显得更加必要了。

这样，本节课的数学抽象包括从生活问题到数学图像的抽象，从数学图像到数学符号的抽象，从行程问题向工程问题的抽象，并建构了解决生活问题的两个基本数学模型。